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金融エンジニアリング キーワード解説

ブラック・ショールズ・モデル(BS式)

概要

フィッシャー・ブラック(Fisher Black)とマイロン・ショールズ(Myron Scholes)が1973年に発表したオプション価格算出のための理論式。

元々は無配当株式のオプションを前提とする理論式であるが、その後、配当ありの場合、為替オプションを前提とした式などいろいろ拡張され、現在もっとも広く利用されているオプション価格計算式として著名である。

ただ、オリジナルのものにしろ、その後変形されたバージョンにしろ、基本的にヨーロピアン・オプション(オプションの満期時にのみ権利行使できるタイプのオプション)にしか対応していない。またヨーロピアン・オプションでも満期時の価値が経路に依存して決まるもの(例えばバリア・オプションなど)には一般に適していない。 このように実際の利用はかなり限定的なモデルであるが、「スタンダードなオプション」に対する「もっともスタンダードな理論価格決定式」として金融実務で幅広く利用されている。

1997年、ショールズ(ブラックは既に故人となっていた)と、同様にこの理論に寄与したロバート・マートン(Robert Merton)にはノーベル賞が授与された。

式形

ブラック・ショールズ・モデルはまた「難解」なことでも有名である。式形からして、文系人間にとってはなじみにくい。オリジナルの無配当株式を前提にした、コール・オプションの価格(C)の決定式は以下のようになる。

   
ただし、
   
   

記号の意味は以下の通り。

 S  : 原資産である株式価格
 N(α) : 標準正規分布に従う確率変数が α 以下の値をとる確率を示す。
        すなわち標準正規分布の累積分布関数
 K : コール・オプションの行使価格
 t : 満期時点(年単位)
 r : オプションの満期に対応する無リスク金利(連続複利ベース)
 e-rt : 時点 t で発生するキャッシュ・フローを、連続複利金利 r で現在価値に引き直すための割引係数(ディスカウント・ファクター)
 σ : ボラティリティ(原資産の収益率の標準偏差)

中身は高度であるが計算は現在のPC環境であれば個人でも容易である。<EXCELを使えばごく簡単に計算はできる>

導出の考え方、難しい理由

難解なことで有名なBS式であるが、導出のための考え方の基本的枠組みは、プライシングの容易なフォワードやスワップと同じで、

・オプションと同じ価値を生み出す原資産と金利資産からなるポートフォリオ(複製ポートフォリオ)を考える。

・「無裁定理論」より(無裁定理論については同項目参照)、同じ価値を生み出す2つの資産の現在価値は同じでなければならない。よって、上のポートフォリオの現在価値を計算すればそれがオプションの価格となる。

というだけのものである。では何故そんなに難解になったかと言えば、オプションの場合、原資産に対して価値が非線形なので、実際の金融取引で容易に価値が複製できない、ということが基本的な原因である。通常の金融取引は資産を買うか、売るかだけであるから、それらの行為によって作り出されるポジションの価値は資産価値の一次式すなわち線形の形で表現されざるを得ない。よってオプションのように原資産に対して非線形の価値が実現するものは通常の考え方では複製ポジションはできないことになる。そこでブラック及びショールズの取った考え方は、オプションの原資産の価格の変化について一定の仮定をおくことであった。

このように原資産の価格変化に一定の仮定をおくことで、連続的に複製ポジションの内容を調整していけば最終的にオプション価値と同じ価値を生み出す取引が可能であることになった。しかし、ここで彼等が使った原資産の価格変化を表すモデル式が「確率微分方程式」と呼ばれるかなり高度な数学を使った式であったため、その厳密な理解及び数学的な処理が極めて難解なものになってしまったのである。確率微分方程式のきちんとした理解は大学教授レベルの数学者でも手こずると言われており、かなり専門的な教育を受けたものでないと深い理解は難しい領域である。

よって、一般の実務家がオプション理論を理解しようという場合、この部分をどれだけ「スマートに」こなしていけるかが重要になる。

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