3. 利付債の場合のデュレーション計算式

今度は利付債の（基本）デュレーションを計算してみましょう。 例えば、期間 ｎ 年、クーポン Ｃ ％（１年払い）の債券の複利利回りと価格の関係を示す式は、以下のようになります。

割引債のときと同様、この式を ｒ で微分すると、接線の傾きを表す関数が算出できます。 割引債のときに微分してデュレーションを求めることができた方なら、本例も簡単なはずです。 ＋ でつながれた各項を、割引債の場合と同様に微分してそれを足していけばいいだけです。 具体的に計算してみると以下のような式になります。

具体的に計算してみましょう。
例えば、期間３年、クーポン 3.0 ％（１年払い）、利回り 2.0 ％の債券があるとします。 この債券の価格は、 (3) 式より
　　
となります。

また、（基本）デュレーション値は (4) 式より
　　
となります。

　4. 修正デュレーション

さて、債券投資信託の運用報告書や目論見書などで時折目にする用語で「 修正デュレーション 」というものがあります。

修正デュレーションとは、一般に以下の式で求められる値を言います。

(5) 式の右辺の分子の「デュレーション」とは、先ほどから説明している「基本デュレーション」、 つまり、利回り価格曲線の接線の傾きの値です。 それを債券価格で割って符号を逆にしたものが修正デュレーションというわけです。

では、この修正デュレーションという値、どういう意味を持つ値なのでしょうか。
修正デュレーションとは、 一定の利回り変化に対応する債券の価格変化率の大きさを示す値 です。

注意していただきたいのは、「価格変化」ではなく「 価格変化率 」の大きさを示す値、ということです。

(5) 式で計算される値がどうしてそうなるのでしょうか？
それは、（基本）デュレーションの意味が分かっていれば難しくないと思います。

例えば、債券の利回りが Δr だけ変化したとします。 このときの債券の価格変化額を ΔP としますと、「価格変化率」は となります。これまで申し上げてきたように、 ΔP はデュレーション（ここでは P' と表記します）を使って

と近似的に表すことができるので、この場合の価格変化率は

と「近似的に」表すことができます。 ところで、 (6) 式と (5) 式を比較すると、

なので、

と表せることがわかります。

つまり、 (5) 式で計算される修正デュレーションの値が大きい債券ほど、一定の利回り変化があったときの価格変化率（の絶対値）は大きい、ということになります。

しかし、修正デュレーションの定義から、利回り変化値に修正デュレーションの逆符号値を掛けるか、もしくは利回り変化の逆符号値に修正デュレーションを掛ける形で考えなければならないのが、ちょっとやっかいです。