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エクセルを使ったモンテカルロ・シミュレーション

第８回　相関を持った乱数発生（２） （その２）

　3. 具体的な乱数発生方法（つづき）

（２）　相互に独立な正規乱数で X1 , X2 , X3 を作り出す

よって、シミュレーションの課題は、以上のような条件を満たす X1 , X2 , X3 を発生させることになったわけですが、我々が知っている方法では、相互に独立な正規乱数しか発生させることができません。そこで登場するのが前回お話したポイント２、３の知識です。ポイント２、３の知識を使って、相互に独立な標準偏差１の正規乱数 Z1 , Z2 , Z3 から、図３の相関係数を持つ X1 , X2 , X3 を作り出します。

まず、最終的な X1 , X2 , X3 と Z1 , Z2 , Z3 の関係を式で示すと以下の通りです。

［ X1 , X2 , X3 と Z1 , Z2 , Z3 の関係］
figure
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figure

figure
図３： X1 , X2 , X3 の相関係数（再掲）

X1 , X2 , X3 相互の相関係数が図３のようになるように、定数 a1 , a2 及び定数 b1 , b2 , b3 を決めます。ここでポイント２，３の知識を使います。

まず、 X1 , X2 , X3 は標準偏差１でなくてはなりませんから、 ［ポイント２］ の知識より、まず、
　figure
　figure
でなければなりません。

そして、 ［ポイント３］ の知識を使って X1 , X2 , X3 の相互の相関係数が設定条件を満たすように 定数 a1 , a2 及び定数 b1 , b2 , b3 を決めていきます。具体的に見ていきましょう。

i ） X1 の発生方法

　figure と定義しましたので、 X1 の発生については ここまでの知識を使って、「 = NORMSINV ( RAND ( ) ) 」とエクセルに関数を入力すればよいだけです。

ii ） X2 の発生方法

X2 は、図３が示すように、 X1 との相関係数が 0.8 でなければなりませんから、 ［ポイント３］ から
　figure
となります。また、
　figure
でなければなりませんから、
　figure
となります。

これでまず、
　figure
となることが分かりました。

iii ） X3 の発生方法

X3 は、図３が示すように、 X1 との相関係数が 0.7 でなければなりませんから、 ［ポイント３］ より、まず
　figure
であることが分かります。

次に、 X2 との相関係数が 0.9 でなければなりませんから、 やはり ［ポイント３］ より、
　figure
でなければなりません。
よって、
　figure
となります。

最後に、
　figure
より、
　figure
となります。つまり、
　figure
とすれば良いのです。

（３）　整理

まず、エクセルの３つのセルに 「 = NORMSINV ( RAND ( ) ) 」 と打ち込んで、 独立な標準正規乱数（標準正規分布に従う乱数） Z1 , Z2 , Z3 を作ります。

次に、
　figure
　figure
　figure
として、乱数 X1 , X2 , X3 を作り出します。

次に、 X1 , X2 , X3 それぞれを 0.0003 倍して、 Δr1 ～ Δr3 に相当する乱数を作りだします。

これで、標準偏差 0.0003（0.03％）、図３で示したような相関係数を持つ正規乱数の作り方が分かりました。

次回はこの乱数を使ってシミュレーションを行い、 VaR を具体的に計算してみましょう。

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